Question

已知α，β是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=

2x-k

x2+1

的定义域为[α，β]．
（Ⅰ）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并证明．
（Ⅱ）记：g（k）=maxf（x）-minf（x），若对任意k∈R，恒有g(k)≤a•

1+k2

成立，
求实数a 的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证一：根据题意可设α≤x₁＜x₂≤β，利用4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，求得2x1x2-t(x1+x2)-

1

2

＜0，从而可判断f(x2)-f(x1)=

(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]

( x 2 2 +1)( x 2 1 +1)

的符号，即可判断函数f（x）在定义域内的单调性；
证二：可求f′（x），利用x∈[α，β]时，4x²-4kx-1≤0可得-2x2+2kx+2≥

3

2

，从而可判断f′（x）的符号，可以判断函数f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在区间[α，β]上是增函数，maxf（x）=f（β），minf（x）=f（α），g(k)=f(β)-f(α)=

k2+1 (16k2+40)

16k2+25

≤a•

1+k2

，分离出a，即整理成k是a的函数，利用基本不等式可求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）证一：设α≤x₁＜x₂≤β，则4x₁²-4tx₁-1≤0，4x₂²-4tx₂-1≤0，
∴4(

x

2 1

+

x

2 2

)-4t(x1+x2)-2≤0，  ∴2x1x2-t(x1+x2)-

1

2

＜0
则f(x2)-f(x1)=

2x2-t

x 2 2 +1

-

2x1-t

x 2 1 +1

=

(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]

( x 2 2 +1)( x 2 1 +1)

又t(x1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+

1

2

＞0  ∴f(x2)-f(x1)＞0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．       …．…．（6分）
证二：f′(x)=

-2x2+2kx+2

(x2+1)2

，x∈[

k- k2+1

2

，

k+ k2+1

2

]
易知：当x∈[α，β]时，4x²-4kx-1≤0，∴-2x2+2kx+2≥

3

2

∴f′(x)≥0
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．
（Ⅱ）g(k)=f(β)-f(α)=

k2+1 (16k2+40)

16k2+25

≤a•

1+k2

恒成立．a≥

16k2+40

16k2+25

=1+

15

16k2+25

，考虑

15

16k2+25

的最大值为

3

5

，∴a≥

8

5

…（13分）

点评：本题考查函数单调性及其证明，难点在于证法一中“2x1x2-k(x1+x2)-

1

2

”符号的确定及证法二中“-2x2+2kx+2≥

3

2

”的分析，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．