Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-21-n+2，bn=2nan．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）若cn=

2n+1

n

an，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用“n=1，a₁=S₁；n≥2，a_n=S_n-S_n-1”可得a_n与a_n-1的关系，证明b_n-b_n-1为常数即可；
（II）利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（I）Sn=-an-21-n+2，
当n=1时，S₁=-a₁-1+2，a1=

1

2

，
当n≥2时，Sn-1=-an-1-22-n+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+21-n，
∴2an=an-1+21-n，
∴bn-bn-1=2nan-2n-1an-1=2n-1(2an-an-1)=1，
又b₁=2a₁=1，∴{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
（II）∵b_n=1+（n-1）•1=n，∴an=

n

2n

，
∴cn=

n+1

n

an=(2n+1)

1

2n

．
∴Tn=3×

1

2

+5×

1

22

+7×

1

23

+…+(2n-1)

1

2n-1

+(2n+1)

1

2n

，①

1

2

Tn=3×

1

22

+5×

1

23

+…+(2n-1)

1

2n

+(2n+1)

1

2n+1

，②
①-②得 

1

2

Tn=3×

1

2

+2×

1

22

+2×

1

23

+…+2×

1

2n

-(2n+1)

1

2n+1

，

1

2

Tn=

3

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(2n+1)

1

2n+1

=

5

2

-

1

2n-1

-

2n+1

2n+1

，
∴Tn=5-

2n+5

2n

．

点评：本题考查了利用“n=1，a₁=S₁；n≥2，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、等差数列的定义、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．