题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）条件下，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切，求实数k的值．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$
∴f^′（x）= $\text{[math]}$
∵函数f（x）在x=1处取得极值
∴f^′（1）=a-1=0
∴a=1
经检验，a=1时f^′（x）=- $\text{[math]}$ 故0＜x＜1时f^′（x）＞0，x＞1时f^′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减故f（x）在x=1处取得极值．
∴a=1
（2）由（1）可知a=1
∴f（x）= $\text{[math]}$
∴f^′（x）=- $\text{[math]}$
设切点A（x₀，y₀）
∴k=f^′（x₀）=- $\text{[math]}$
又∵k=k_OA= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴lnx₀=- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴k=k_OA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）根据极值的定义可得f^′（1）=0求出a的值然后再回代到题中利用极值的定义判断函数f（x）是否在x=1处取得极值以免产生增根．
（2）设切点A（x₀，y₀）根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义可得k=f^′（x₀）再根据k=k_OA建立关于x₀的等式然后求出x₀（要注意其大于0）进而求出k
点评：本题主要考查了函数极值的概念已及导数的几何意义的应用，属常考题，较难．解题的关键是在第二问中根据直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切和导数的几何意义得出k=f′（x₀）而直线y=kx有过原点故k=k_OA从而建立了关于x₀的等式 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 但要注意x₀＞0！