题目内容

已知双曲线kx²-y²=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，那么双曲线的离心率为；渐近线方程为．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：已知双曲线kx²-y²=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出k的值，得到双曲线的方程，再求离心率
解答：由题意双曲线kx²-y²=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为 $\text{[math]}$ ，由于双曲线的渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，k= $\text{[math]}$ ，可得双曲线的方程为 $\text{[math]}$
可得a=2，c= $\text{[math]}$ ，由此得双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．