Question

已知a≠0，集合A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8≥0}，C={x|x²-4ax+3a²＜0}，且C⊆（A∩C_RB）．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先通过解一元二次不等式化简集合A和B，再求集合B的补集，最后求出A∩（C_RB），由于一元二次方程x²-4ax+3a²=0的两个根是：a，3a．欲表示出集合C，须对a进行分类讨论：①若a＞0，②若a＜0，再结合C⊆（A∩C_RB），列出不等关系求得a的取值范围，最后综合得出实数a的取值范围即可．

解答：解：依题意得：A={x|-2＜x＜3}，B={x|x≤-4或x≥2}，（C_RB）={x|-4＜x＜2}
∴A∩（C_RB）=（-2，2）
①若a＞0，则C={x|a＜x＜3a}，
由C⊆（A∩C_RB）得

a＞0 a≥-2 3a≤2

，解得0＜a≤

2

3

②若a＜0，则C={x|3a＜x＜a}，
由C⊆（A∩C_RB）得

a＜0 3a≥-2 a≤2

，解得-

2

3

≤a＜0
综上，实数a的取值范围为0＜a≤

2

3

或-

2

3

≤a＜0

点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合的包含关系判断及应用、交集及其运算、补集及其运算不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．