题目内容
（2012•杨浦区一模）若椭圆
+
=1（a＞b＞1）内有圆x2+y2=1，该圆的切线与椭圆交于A，B两点，且满足
•
=0（其中O为坐标原点），则9a2+16b2的最小值是
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OA |
| OB |
49
49
．分析：设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合
•
=0，可得a2（m2-b2k2-b2）+m2b2=0，利用y=kx+m是单位圆的切线，可得m2=k2+1，从而可得a2+b2=a2b2，可得a2＞2，b2=
=1+
，由此可求9a2+16b2的最小值．
| OA |
| OB |
| a2 |
| a2-1 |
| 1 |
| a2-1 |
解答：解：设切线方程为y=kx+m，代入椭圆方程得关于x的一元二次方程（b2+a2k2）x2-2a2kmx+a2m2-a2b2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
∵
•
=0
∴x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0
∴（k2+1）a2（m2-b2）-2k2m2a2+m2（a2k2+b2）=0
∴a2（m2-b2k2-b2）+m2b2=0（*）
因为y=kx+m是单位圆的切线，所以
=1，即m2=k2+1
代入（*）式子，得到a2（1-b2）m2+m2b2=0，所以a2+b2=a2b2
由于a＞b，所以a2b2=a2+b2＞2b2，∴a2＞2
∵b2=
=1+
代入得9a2+16b2=9a2+
+16=9（a2-1）+
+25≥49
当且仅当a2-1=
时取到最小值
故答案为：49
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| -2a2km |
| a2k2+b2 |
| a2(m2-b2) |
| a2k2+b2 |
∵
| OA |
| OB |
∴x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0
∴（k2+1）a2（m2-b2）-2k2m2a2+m2（a2k2+b2）=0
∴a2（m2-b2k2-b2）+m2b2=0（*）
因为y=kx+m是单位圆的切线，所以
| |m| | ||
|
代入（*）式子，得到a2（1-b2）m2+m2b2=0，所以a2+b2=a2b2
由于a＞b，所以a2b2=a2+b2＞2b2，∴a2＞2
∵b2=
| a2 |
| a2-1 |
| 1 |
| a2-1 |
代入得9a2+16b2=9a2+
| 16 |
| a2-1 |
| 16 |
| a2-1 |
当且仅当a2-1=
| 4 |
| 3 |
故答案为：49
点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查圆的切线，考查韦达定理的运用，考查基本不等式求最值，利用韦达定理是关键．
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