Question

已知函数f（x）=ax+

1

x

，且f（1）=-2．
（1）求f（x）的解析式，并判断它的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在 （0，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

分析：（1）将x=1代入即可求得a的值，利用奇偶函数的定义即可判断出其奇偶性；
（2）利用减函数的定义即可证出．

解答：解：（1）∵f（1）=-2，∴a+1=-2，解得a=-3，∴f(x)=-3x+

1

x

，（x≠0）．
f(-x)=-3(-x)+

1

-x

=-（-3x+

1

x

)=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
（2）?0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，

1

x1x2

＞0．
则f（x₁）-f（x₂）=(-3x1+

1

x1

)-(-3x2+

1

x2

)=(x2-x1)(3+

1

x1x2

)＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在 （0，+∞）上是单调减函数．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．