Question

在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x²=2py(p＞0)相交于A、B两点.

（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值.

（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)依题意，点N的坐标为N(0,-p)，可设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),

直线AB的方程为y=kx+p，与x²=2py联立得

消去y得x²-2pkx-2p²=0.

由韦达定理得x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-2p².

于是S_△ABN=S_△BCN+S_△ACN=·2p|x₁-x₂|=p|x₁-x₂|

=p=p=2p²,

∴当k=0时,(S_△ABN)_min=2p².

(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，

设AC的中点为O′，l与AC为直径的圆相交于点P，Q,PQ的中点为H，

则O′H⊥PQ,Q′点的坐标为(,).

∵|O′P|=|AC|==,|O′H|=|a|=|2a-y₁-p|,

∴|PH|²=|O′P|²-|O′H|²=(y₁²+p²)(2a-y₁-p)²=(a)y₁+a(p-a).

∴|PQ|²=(2|PH|)²=4［(a)y₁+a(p-a)］.

令a=0,得a=,此时|PQ|=p为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线.