Question

已知圆O：x²+y²=4，点P为直线l：x=4上的动点．
（Ⅰ）若从P到圆O的切线长为2

3

，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（Ⅱ）若点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN经过定点（1，0）．

Answer 1

分析：根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即42+t2=22+(2

3

)2，解得t=0，所以点P坐标为（4，0），由此能够求出两切线所夹劣弧长．
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），可以设AP：y=

t

6

(x+2)，和圆x²+y²=4联立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，然后由根与系数的关系进行求解．

解答：解：根据题意，设P（4，t）．
（I）设两切点为C，D，则OC⊥PC，OD⊥PD，
由题意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即42+t2=22+(2

3

)2，（2分）
解得t=0，所以点P坐标为（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）
所以两切线所夹劣弧长为

π

3

×2=

2π

3

．（5分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依题意，直线PA经过点A（-2，0），P（4，t），
可以设AP：y=

t

6

(x+2)，（6分）
和圆x²+y²=4联立，得到

y= t 6 (x+2) x2+y2=4

，
代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因为直线AP经过点A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的两个根，
所以有-2x1=

4t2-144

t2+36

，x1=

72-2t2

t2+36

，（8分）
代入直线方程y=

t

6

(x+2)得，y1=

t

6

(

72-2t2

t2+36

+2)=

24t

t2+36

．（9分）
同理，设BP：y=

t

2

(x-2)，联立方程有

y= t 2 (x-2) x2+y2=4

，
代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因为直线BP经过点B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的两个根，2x2=

4t2-16

t2+4

，x2=

2t2-8

t2+4

，
代入y=

t

2

(x-2)得到y2=

t

2

(

2t2-8

t2+4

-2)=

-8t

t2+4

．（11分）
若x₁=1，则t²=12，此时x2=

2t2-8

t2+4

=1
显然M，Q，N三点在直线x=1上，即直线MN经过定点Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，则t²≠12，x₂≠1，
所以有kMQ=

y1-0

x1-1

=

24t t2+36

72-2t2 t2+36 -1

=

8t

12-t2

，kNQ=

y2-0

x2-1

=

-8t t2+4

2t2-8 t2+4 -1

=

-8t

t2-12

（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三点共线，
即直线MN经过定点Q（1，0）．
综上所述，直线MN经过定点Q（1，0）．（14分）

点评：本题考查直线和圆的位置关系，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解答．