Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E为BB₁中点，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于G．
（1）求证：CC₁∥平面FGD₁；
（2）求异面直线BD与AF所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由长方体的侧棱平行，可得线线平行，再由线线平行证明线面平行；
（2）建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出异面直线BD与AF的方向向量，利用利用夹角公式求异面直线AE与A₁F所成角的余弦值即可．

解答：解：（1）证明：由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，CC₁∥DD₁，
∵DD₁?平面FGD₁，CC₁?平面FGD₁，
∴CC₁∥平面FGD₁．
（2）以A₁为原点，A₁B₁，A₁D₁，A₁A所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
于是，A（0，0，2），B（1，0，2），D（0，1，2），E（1，0，1），C₁（1，1，0），

BD

=（-1，1，0）．
因为EC₁和AF是平行平面BB₁C₁C和AA₁D₁D与平面AEC₁G的交线，
所以EC₁∥AF．设F（0，1，z），
则

AF

=（0，1，z-2）．

EC1

=（0，1，-1），由EC₁∥AF，得z=1，
∴

AF

=（0，1，-1），∴cos＜

AF

，

BD

＞=

AF • BD

| AF || BD |

=

1

2 × 2

=

1

2

，
＜

AF

，

BD

＞=

π

3

，
∴异面直线BD与AF所成的角为

π

3

．

点评：本题考查了线面平行的证明，考查了异面直线所成的角及其求法，考查了利用向量坐标运算求向量的夹角，考查了学生的空间想象能力，运算能力．