Question

设函数f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

，x∈[0，π]．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求f（x）的最小值及f（x）取最小值时x的集合；
（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

（1）f(

π

3

)=cos(

π

3

+

2π

3

)+2cos2

π

6

=-1+2(

3

2

)2=

1

2

．
（2）f(x)=cosxcos

2π

3

-sinxsin

2π

3

+1+cosx=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=sin(

π

6

-x)+1．
因为x∈[0，π]，所以-

5π

6

≤

π

6

-x≤

π

6

，所以-1≤sin(

π

6

-x)≤

1

2

．
所以函数f（x）的最小值为0．
此时

π

6

-x=-

π

2

，即x=

2π

3

．所以x的取值集合为

2π

3

．
（3）由（2）可知：f(x)=-sin(x-

π

6

)+1，x∈[0，π]．
由

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，取k=0，得

2π

3

≤x≤

3π

2

，
∴[

2π

3

，

3π

2

]∩[0，π]=[

2π

3

，π]．
所以，函数f（x）的单调递增区间是[

2π

3

，π]．