Question

等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求数列{

n

an

}的前n项和S_n；
（3）设 b_n=log 

1

3

a₃+…+log 

1

3

a_2n-1（n∈N^*），若数列{b_n+kn）是递增的数列，求k的取值范围..

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，通过解方程组可求得a₁与q，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）的答案代入

n

an

得到表达式，然后利用错位相减法求出前n项和即可．
（3）先说明{b_n}是一个首项为1，公差为2的等差数列，然后求出通项，再根据数列{b_n+kn）是递增的数列建立关系式，解之即可．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公比为q，则根据已知条件得
2a₁+3a₂=2a₁+3a₁q=1，（a₁q²）²=9a₁q•a₁q⁵
解得，q²=

1

9

，根据已知条件q＞0，∴q=

1

3

，a1=

1

3

，
故数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

，
（2）

n

an

=n•3ⁿ，∴S_n=1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ ①
3S_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹  ②
②-①得，2S_n=-（3¹+3²+…+3ⁿ）+n•3ⁿ⁺¹+n•3ⁿ⁺¹=

3

2

-(n+

1

2

)3n+1
∴S_n=

3

4

-

2n+1

4

•3n+1
（3）a2n-1=

1

32n-1

，∴log 

1

3

a_2n-1=log

1

3

1

32n-1

=2n-1，
∴{b_n}是一个首项为1，公差为2的等差数列，
b_n=log 

1

3

a₃+…+log 

1

3

a_2n-1=

n(1+2n-1)

2

=n2
∴b_n+kn=n²+kn，
又数列{b_n+kn）是递增的数列，
∴-

k

2

≤

3

2

，解得k≥-3．
∴k的取值范围为k≥-3．

点评：本题考查数列与不等式的综合以及数列求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题目．