Question

（2012•莆田模拟）如图，AB⊥BC，BC⊥CD，AB=BC=CD=1，AD=

3

，E、F分别是线段AC、AD的中点，连接BE、EF、FB、BD．
（1）请观察图形直接写出两对不同的线面垂直关系，并任选其中一对加以证明；
（2）试求直线BD与平面BEF所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）由图形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．证明AC⊥CD，根据BC⊥CD，AC∩BC=C，可得CD⊥平面ABC，从而可得CD⊥AB，根据AB⊥BC，BC∩CD=C，可得AB⊥平面BCD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BEF的法向量

n

=（1，0，1），利用向量的夹角公式，即可求直线BD与平面BEF所成的角的大小．

解答：解：（1）由图形可得CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD．下面证明AB⊥平面BCD：
在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=1，∴AC=

2

在△ACD中，CD=1，AC=

2

，AD=

3

，∴AD²=AC²+DC²，∴AC⊥CD
∵BC⊥CD，AC∩BC=C
∴CD⊥平面ABC
∵AB?平面ABC
∴CD⊥AB
∵AB⊥BC，BC∩CD=C
∴AB⊥平面BCD；
（2）以C为原点，BC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则A（1，0，1），B（1，0，0），C（0，0，0），D（0，1，0），E（

1

2

，0，

1

2

），F（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
设平面BEF的法向量为

n

=（x，y，z），直线BD与平面BEF所成的角为θ
∵

BE

=（

1

2

，0，

1

2

），

BF

=（

1

2

，

1

2

，

1

2

）
∴

- 1 2 x+ 1 2 z=0 - 1 2 x+ 1 2 y+ 1 2 z=0

，∴可取

n

=（1，0，1）
∵

BD

=（-1，0，1）
∴sinθ=

| BD • n |

| BD || n |

=

1

2 × 2

=

1

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]
∴θ=

π

6

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确运用空间向量解决线面角问题，属于中档题．