题目内容
在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，角B的对边b为1，求证：1＜a+c≤2．
证法一：∵2B=A+C，又A+B+C=180°，
∴B=60°，C=120°-A．
由正弦定理得
=
=
，
再由合分比定理得：
a+c=
（sinA+sinC）
=
[sinA+sin（120°-A）]
=2sin（A+30°）≤2，
再由两边之和大于第三边，
∴1＜a+c．
∴1＜a+c≤2．
证法二：先得B=60°（同上得）．
再利用余弦定理知cosB=
，即
=
，
即（a+c）2-1=3ac≤3（
）2．
解得a+c≤2．
又∵a+c＞1，
∴1＜a+c≤2．
∴B=60°，C=120°-A．
由正弦定理得
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
| 1 |
| sin60° |
再由合分比定理得：
a+c=
2
| ||
| 3 |
=
2
| ||
| 3 |
=2sin（A+30°）≤2，
再由两边之和大于第三边，
∴1＜a+c．
∴1＜a+c≤2．
证法二：先得B=60°（同上得）．
再利用余弦定理知cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
即（a+c）2-1=3ac≤3（
| a+c |
| 2 |
解得a+c≤2．
又∵a+c＞1，
∴1＜a+c≤2．
练习册系列答案
相关题目