Question

已知集合M={x|2x2+x≤(

1

4

)x-2，x∈R}，求函数f（x）=a²-1+ax+x²，x∈M的最小值．

Answer 1

分析：由对数函数的性质可求得M=[-4，1]，将f（x）=a²-1+ax+x²配方为f（x）=(x+

a

2

)2+

3

4

a²-1之后，根据其对称轴x=-

a

2

与区间[-4，1]之间的关系，利用二次函数的单调性即可求得相应情况下的最小值．

解答：解：∵2x2+x≤2^4-2x，
∴x²+x≤4-2x，
∴-4≤x≤1，
即M=[-4，1]---------（2分）
∵f（x）=a²-1+ax+x²=(x+

a

2

)2+

3

4

a²-1，
①当-4≤-

a

2

≤1时，y_min=

3

4

a²-1；------------（2分）
②当-

a

2

＞1时，y_min=f（1）=a²+a；------------（2分）
③-

a

2

＜-4时，y_min=f（-4）=a²-4a+15．------------（2分）
∴y_min=

a2+a，(a＜-2) 3 4 a2-1，(-2≤a≤8) a2-4a+15，(a＞8)

．

点评：本题考查指、对数不等式的解法，着重考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想与转化思想的综合运用，属于中档题．