Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁、BB₁上分别有M、N两点，使2A₁M=A₁B₁，B₁N=AB，则截面C₁MN与上底面A₁B₁C₁所成角的大小

45°

．

Answer 1

分析：利用面积射影法，分别求出S_△C1MN、S_△A1B1C1，利用cosα=

S△A1B1C1

S△C1MN

，即可求得结论．

解答：解：不妨设A₁M=a，则A₁B₁=B₁N=AB=2a，∴△C₁MN中，MN=C₁M=

5

a，C₁N=2

2

a，
∴S_△C1MN=

1

2

×2

2

a×

5a2-2a2

=

6

a2
∵S_△A1B1C1=

3

4

×4a2=

3

a²，
∴截面C₁MN与上底面A₁B₁C₁所成角的余弦值为

S△A1B1C1

S△C1MN

=

2

2

∴截面C₁MN与上底面A₁B₁C₁所成角的大小为45°
故答案为：45°

点评：本题考查面面角，考查面积射影法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．