Question

（2012•黄州区模拟）若函数f（x）=sinωx+

3

cosωx（x∈R，ω＞0）满足f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为

π

2

，则函数f（x）的单调增区间为

[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈z

．

Answer 1

分析：由两角和的正弦公式可得f（x）=2sin（ωx+

π

3

），由周期为

2π

ω

=4×

π

2

=2π，求得ω=1，从而求得函数f（x）的解析式，令 2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可得到函数f（x）的单调增区间．

解答：解：∵函数f（x）=sinωx+

3

cosωx=2sin（ωx+

π

3

），f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为

π

2

，
∴周期为 

2π

ω

=4×

π

2

=2π，∴ω=1，∴函数f（x）=2sin（x+

π

3

）．
令 2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈z，
故函数f（x）的单调增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈z．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，由y=Asin（ωx+）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间，属于中档题．