题目内容

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合.直线的参数方程为 (为参数)，圆的极坐标方程为.若直线与圆相交于、且

,求实数的值.

 

【答案】

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，以及极坐标与直角坐标的互换的综合运用。

直线的普通方程为:

圆的直角坐标方程为: 

设圆心到直线的距离为，则由题意得：

即,则

解:直线的普通方程为:......4分

圆的直角坐标方程为: ......8分

设圆心到直线的距离为，则由题意得：

即,则 ......13分

另法：曲线C的直角坐标方程为：.........4分

把代入曲线C的方程得，......8分

设点，分别对应参数，则由韦达定理知

由于且，所以，

  ......13分

 

练习册系列答案
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（2012•邯郸一模）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：
x=-1+
3
2
t
y=
1
2
t       
（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．
在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=
2a
b0
属于特征值-1的一个特征向量为
1
-3
，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x2）（1+x3）≥8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（B）（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M2．
（C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，曲线C2的参数方程为
x=2+tcosα
y=tsinα
（t为参数）．
（1）求曲线C1的直角坐标方程及α=
π
3
时曲线C2的普通方程；
（2）设E（2，0），曲线C1与C2交于点M、N，若ME=2NE，求MN的长．
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为
x=tcosα
y=tsinα.
（t为参数，α为直线l的倾斜角），圆C的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+12=0．若直线l与圆有公共点，则倾斜角α的范围为
[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π）
[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π）
．

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