Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c（a、c∈N^*）满足：①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求a、c的值；
（2）若对任意的实数x∈[

1

2

，

3

2

]，都有f（x）-2mx≤1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把条件①f（1）=5；②6＜f（2）＜11代入到f（x）中求出a和c即可；
（2）不等式f（x）-2mx≤1恒成立?2（1-m）≤-（x+

1

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立，只需要求出[-（x+

1

x

）]_min=-

5

2

，然后2（1-m）≤-

5

2

求出m的范围即可．

解答：解：（1）∵f（1）=a+2+c=5，
∴c=3-a．①
又∵6＜f（2）＜11，即6＜4a+c+4＜11，②
将①式代入②式，得-

1

3

＜a＜

4

3

，又∵a、c∈N^*，∴a=1，c=2．
（2）由（1）知f（x）=x²+2x+2．
证明：∵x∈[

1

2

，

3

2

]，∴不等式f（x）-2mx≤1恒成立?2（1-m）≤-（x+

1

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立．
易知[-（x+

1

x

）]_min=-

5

2

，
故只需2（1-m）≤-

5

2

即可．
解得m≥

9

4

．

点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数最值及几何意义的能力，理解不等式恒成立的能力．