Question

已知函数f（x） 定义在（-1，1）上，f（）=1，满足f（x）-f（y）=f（），且数列x₁=，x_n+1=．
（Ⅰ）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅱ）求f（x_n）的表达式；
（Ⅲ）若a₁=1，a_n+1=f（x_n）-a_n，（n∈N₊）．试求a_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f（x）定义在（-1，1）上满足f（x）-f（y）=f（），
所以当x=y=0时，可得f（0）=0，当x=0时，f（0）-f（y）=f（-y），
即f（-y）=-f（y），所以f（-x）=-f（x），
即f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（Ⅱ）因为，
所以，又，
所以f（x_n）}为等比数列，其通项公式为．…..
（3）因为+a_n+1=6n，所以a_n+1+a_n+2=6（n+1），两式相减，得a_n+2-=6，
所以{a_2n-1}与{a_2n}均为公差为6 的等差数列，
所以易求得=．…．
分析：（Ⅰ） 利用奇函数的定义去证明．
（Ⅱ）利用数列的递推公式推导．
（Ⅲ）将数列进行等价转化，转化为规则数列，然后求通项公式．
点评：本题考查了抽象函数的应用以及函数奇偶性的证明，以及数列的通项公式，综合性较强运算量较大．