Question

【题目】由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么．

（1）试问集合A能否恰有两个元素且？若能，求出所有满足条件的集合A；若不能，请说明理由；

（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）能，或或

（2）存在，

【解析】

（1）若集合A能恰有两个元素且，不妨设集合，分类讨论，时，，则或； 时，，则或，分别求解，即可.

（2）若存在一个含有元素0的三元素集合A，因为集合A具有如下性质：若，且，那么，并且不能作为分母，所以，则且，即，不妨设集合且，分类讨论，时，不成立；时，，则，求解即可.

（1）集合A能恰有两个元素且.不妨设集合

当时，由集合A的性质可知，

则或，解得（舍）或，

所以集合

当时，由集合A的性质可知，

则或，解得或（舍）或

所以集合或

综上所述：或或

（2）存在一个含有元素0的三元素集合A

由题意可知时，，，并且，,即

不妨设集合且

当时，由题意可知，，

若，即，解得或（舍），集合

若，不成立.

若，即（舍）

当时，由题意可知，，舍.

综上所述，.