Question

已知奇函数f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，且f(－2)＝－1，当x₁＞0，x₂＞0时，有f(x₁x₂)＝f(x₁)＋f(x₂)，求不等式log₂｜f(x)＋1｜＜0的解集．

Answer 1

答案：
解析：

解：∵log2｜f(x)＋1｜＜0＝log21，∴0＜｜f(x)＋1｜＜l，即－2＜f(x)＜0且，f(x)≠－1． 　　∵当x1＞0，x2＞0时，f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)()，令x1＝1，x2＝2，则f(1×2)＝f(2)＝f(1)＋f(2)．∴f(1)＝0． 　　又∵y＝f(x)为奇函数，∴f(1)＝f(－1)＝0． 　　∵f(－2)＝－1，且y＝f(x)为奇函数，∴f(2)＝1． 　　在()式中，令x1＝2，x2＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＝2， 　　∴f(－4)＝－2，故－2＜f(x)＜0，且f(x)≠－1，即为f(－4)＜f(x)＜f(－1)，且f(x)≠f(－2)． 　　∵y＝f(x)在(－∞，0)是增函数． 　　∴－4＜x＜－1且x≠－2． 　　又在()式中，令x1＝4，x2＝，得f(4·)＝f(1)＝f(4)＋f()．f()＝－f(4)＝－2． 　　同理　f()＝－f(2)＝－1． 　　∴－2＜f(x)＜0，且f(x)≠－1，也可变为f()＜f(x)＜f(1)且f(x)≠f()． 　　∵y＝f(x)为奇函数，∴f()＝－f(－)，f(x)＝－f(－x)，f(1)＝－f(－1)． 　　∴上式即为－f(－)＜－f(－x)＜－f(－1)，且f(－x)≠f(－)． 　　即f(－1)＜f(－x)＜f(－)，且f(－x)≠f(－)．而y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数， 　　∴－1＜－x＜－，且－x≠－． 　　∴所求不等式的解集为｛x｜－4＜x＜－1且x≠－2＝∪｛x｜＜x＜1且x≠＝ 　　分析：由于f(x)是抽象函数，所以只能根据f(x)的性质来解不等式．要注意的是，由于奇函数的定义域关于原点对称，所以除了已知的一些性质外，还有另一种对称区域上的性质． 　　点评：(1)一般来说，遇到像f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)对一切x1＞0，x2＞0均成立这种情况，总是要不止一次地令x1、x2的具体值，来达到求解的目的． 　　(2)解关于抽象函数的不等式，通常利用抽象函数的单调性，并且要注意单调性的适用范围． 　　(3)具有奇偶性的函数，由于其定义域关于原点对称，因此知道了定义域中一部分的函数性质，另外对称的一部分性质也随之确定，解题时，必须兼顾之．