题目内容

已知 $数学公式$ =（asinx，cosx）， $数学公式$ =（sinx，bsinx），其中，a，b，c∈R，函数f（x）= $数学公式$ ，且f（ $数学公式$ ）=f（ $数学公式$ ）=2
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0总有实数解，求实数k的取值范围．

解：（I）∵ $\text{[math]}$ =（asinx，cosx）， $\text{[math]}$ =（sinx，bsinx），
∴函数f（x）= $\text{[math]}$ =asin²x+bsinxcosx
∵f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=2
∴asin² $\text{[math]}$ +bsin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =asin² $\text{[math]}$ +bsin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =2
∴a=2，b=2 $\text{[math]}$
∴f（x）=2sin²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx；
（II）f（x）=2sin²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx=2sin（2x- $\text{[math]}$ ）+1
关于x的方程f（x）+log₂k=0总有实数解，即-2sin（2x- $\text{[math]}$ ）=log₂k+1总有实数解，
∴|log₂k+1|≤2
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用向量的数量积公式，根据f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）=2，建立方程，即可求函数f（x）的解析式；
（II）将三角函数化简，确定三角函数的范围，即可求得实数k的取值范围．
点评：本题考查向量的数量积公式，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，确定函数解析式是关键，属于中档题．