Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为，坐标原点到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为。

（1）求椭圆的方程；

（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点，在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解:(I）由已知，椭圆方程可设为

设，直线，由坐标原点到的距离为

则，解得 .……………　2分

又=，故=，=1∴所求椭圆方程为．……………　4分

（II）假设存在点满足条件,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，

由 可得．……………　6分

由恒成立，∴．

设线段PQ的中点为，

则 ……………　8分

∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，

∴MN⊥PQ ∴……………　10分

即，

……………　12分