Question

（2007•无锡二模）已知函数f(x)=cos2ωx+sinωxcosω-

1

2

(ω＞0)最小正周期为π．
（1）求f（x）在区间[-

π

2

，

π

8

]上的最小值；
（2）求函数f（x）图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，根据周期公式求ω的值，结合正弦函数的性质研究函数的最值及取得最值的条件；
（2）根据（1）中求的函数的解析式，令2x+

π

4

=kπ，解出x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，令k分别取0，1，比较大小，即可求得结果．

解答：解：（1）f(x)=cos2ωx+sinωx•ωx-

1

2

=

1

2

(cos2ωx+1)+

1

2

sin2ωx-

1

2

=

2

2

sin(2ωx+

π

4

)．
∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)．
∵当-

π

2

≤x≤

π

8

时，-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

．
∴当2x+

π

4

=-

π

2

时，f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)取得最小值为-

2

2

．
（2）令2x+

π

4

=kπ，得x=

kπ- π 4

2

=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z
∴当k=0时，x=-

π

8

，当k=1时，x=

3π

8

，
∴满足要求的对称中心为(-

π

8

，0)．

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式把不同名的三角函数含为一个角的三角函数，进而研究三角函数的性质：周期性及周期公式，函数的最值的求解．属中档题．