Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-ax．
（Ⅰ）函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点，求a的取值范围．
（Ⅱ）若a=3，当时，关于x的不等式恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函数的解析式，我求出函数的导函数的解析式，然后根据函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点，即导函数在区间[0，1]上存在唯一的零点，即f'（0）•f'（1）＜0，解不等式即可得到满足条件的a的取值范围．
（Ⅱ）将a=3代入，并构造函数，利用导数法求出函数的最小值，然后根据函数恒成立的性质，即可求出满足条件的实数a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+4x-a，
∵f′（0）=1-a，f′（1）=e+4-a，
又∵函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点
∴f'（0）•f'（1）＜0．
∴1＜a＜e+4
（Ⅱ）由，得，
即，
∵，∴，
令，则．
令，则φ'（x）=x（e^x-1）．
∵，∴φ'（x）＞0，∴φ（x）在上单调递增，
∴，
因此g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增，
则，∴a的取值范围是．
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件及导数在最大值、最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式是解答此类问题的关键．