Question

如图，正三棱锥A-BCD的底面边长为2，侧棱长为3，E为棱BC的中点．
（1）求该三棱锥的表面积S；
（2）求异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）由题意可得斜高AE，可得三角形的侧面面积，加上底面可得；
（2）取BD中点F，连结AF、EF，可得∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角），在△AEF中可得cos∠AEF，由反三角函数可得．

解答：解：（1）由题意结合勾股定理可得：
正三棱锥的斜高AE=

AB2-BE2

=

32-12

=2

2

∴表面积S=

3

4

×22+3×

1

2

×2×2

2

=

3

+6

2

（2）取BD中点F，连结AF、EF，
∵EF∥CD，∴∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角（或其补角），
在△AEF中，AE=AF=2

2

，EF=1，
∴cos∠AEF=

1 2

2 2

=

2

8

．
∴异面直线AE与CD所成的角的大小为arccos

2

8

．

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及反三角函数和表面积的求解，属中档题．