Question

已知函数f(x)=

x+2

x-3

（1）点（3，14）在f（x）的图象上吗？
（2）当x=4  时，求f（x）的值．
（3）当f（x）=2 时，求 x 的值． 
（4）判断函数在区间[4，6]上的单调性并证明之．
（5）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：根据分式函数 的表达式，分别代入进行求值判断即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

x+2

x-3

，
∴x=3无意义，即点（3，14）不在f（x）的图象上．
（2）当x=4时，求f（4）=6．
（3）当f（x）=2时，得f(x)=

x+2

x-3

=2，即x+2=2x-6，
∴x=8． 
（4）判断函数在区间[4，6]上的单调性并证明之．
∵f(x)=

x+2

x-3

=

x-3+5

x-3

=1+

5

x-3

，
∴函数在区间[4，6]上的单调递减．，
设4≤x₁＜x₂≤6，
则f(x1)-f(x2)=

5

x1-3

-

5

x2-3

=

5(x2-3)-5(x1-3)

(x1-3)(x2-3)

=

5(x2-x1)

(x1-3)(x2-3)

，
∵4≤x₁＜x₂≤6，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-3）（x₂-3）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴此时函数f（x）单调递减．
（5）∵f(x)=

x+2

x-3

=

x-3+5

x-3

=1+

5

x-3

，
∴f（x）≠1，
即函数f（x）的值域为{y|y≠1}．

点评：本题主要考查分式函数的图形和性质，要求熟练掌握分式函数的性质，比较基础．