题目内容
已知函数f(x)=
．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
| eax | x-1 |
（1）当a=1时，求曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
分析：（1）把a=1代入函数解析式，求出函数在x=0时的函数值f（0），求出f′（0），利用直线方程的点斜式可得曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求出原函数的导函数，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a≠0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．
（2）求出原函数的导函数，分a=0，a＜0，a＞0三种情况分析导函数在定义域内的符号，当a=0时，导函数在定义域内恒小于0，所以原函数在定义域内的两个区间内单调递减，当a≠0时，求出导函数的零点由零点把定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间．
解答：解：当a=1时，f(x)=
，则f′(x)=
．
又f（0）=
=-1，f′(0)=
=-2，
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函数f(x)=
，得：f′(x)=
．
当a=0时，f′(x)=
＜0，
又函数的定义域为{x|x≠1}，
所以 f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，+∞）．
当a≠0时，令f′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得x=
，
当a＞0时，x=
＞1，
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
所以f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，
），
单调递增区间为(
，+∞)，
当a＜0时，x=
＜1，
所以所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
所以f（x）的单调递增区间为(-∞，
)，
单调递减区间为(
，1)，（1，+∞）．
| ex |
| x-1 |
| ex(x-2) |
| (x-1)2 |
又f（0）=
| e0 |
| 0-1 |
| e0(0-2) |
| (0-1)2 |
所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y-（-1）=-2（x-0），即y=-2x-1；
（2）由函数f(x)=
| eax |
| x-1 |
| eax[ax-(a+1)] |
| (x-1)2 |
当a=0时，f′(x)=
| -1 |
| (x-1)2 |
又函数的定义域为{x|x≠1}，
所以 f（x）的单调递减区间为（-∞，1），（1，+∞）．
当a≠0时，令f′（x）=0，即ax-（a+1）=0，解得x=
| a+1 |
| a |
当a＞0时，x=
| a+1 |
| a |
所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
| x | （-∞，1） | 1 | (1，
|
|
(
| ||||||
| f′（x） | - | 无定义 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 减函数 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
| a+1 |
| a |
单调递增区间为(
| a+1 |
| a |
当a＜0时，x=
| a+1 |
| a |
所以所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表
| x | (-∞，
|
|
(
|
1 | （1，+∞） | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 无定义 | - | ||||||
| f（x） | 增函数 | 极大值 | 减函数 | 减函数 |
| a+1 |
| a |
单调递减区间为(
| a+1 |
| a |
点评：本题考查了利用导数求曲线上的某点的切线方程，考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，解答此题时，最后下结论的时候学生容易出错，误把函数的减区间取并集．此题是中档题．
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