Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】

（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性；（2）存在，使得对任意的都有恒成立，等价于，分别利用导数研究函数的单调性，并求出的最小值，解不等式即可得结果.

（1）因为的定义域为， .

①当时，因为，，所以在上为增函数，；

②当时，在上为减函数，在上为增函数，；

③当时，在上为减函数， .

（2）当时，若存在，使得对任意的都有恒成立，

则.

由（1）知，当时， .

因为，令，则，

令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上单调递增.

所以，则，

解得，又，，

所以，即实数的取值范围是.