Question

求y=

3

2

cosx+

1

2

sinx的最小正周期、单调区间、最值及取得最值时对应的x的集合．

Answer 1

分析：利用两角和与差的正弦函数将y=

3

2

cosx+

1

2

sinx转化为y=sin（x+

π

3

），利用正弦函数的性质即可求得其最小正周、单调区间、最值及取得最值时对应的x的集合．

解答：解：∵y=

3

2

cosx+

1

2

sinx=sin（x+

π

3

），
∴其最小正周期T=2π；
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，
∴y=

3

2

cosx+

1

2

sinx的单调递增区间为[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

]，k∈Z．
同理可得y=

3

2

cosx+

1

2

sinx的单调递减区间为[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]，k∈Z．
由x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z得x=2kπ+

π

6

，即当x=2kπ+

π

6

时，y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最大值1；
x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z得x=2kπ-

5π

6

，即当x=2kπ-

5π

6

时，y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最小值-1；
∴y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最大值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ+

π

6

，k∈Z}；
y=

3

2

cosx+

1

2

sinx取得最小值时，相应的x的集合为{x|x=2kπ-

5π

6

，k∈Z}．

点评：本题考查两角和与差的正弦，着重考查正弦函数的最小正周期、单调区间、最值，属于中档题．