Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点（-

3

，0），（

3

，0）的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若AB中点横坐标为-

1

2

，求直线AB的方程；
（3）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（-

3

，0），（

3

，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆，从而可得曲线C的方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可得到直线的方程；
（3）直线方程代入椭圆方程，求出A，B的纵坐标，利用S_△AOB=

1

2

|OE||y2-y1|，可得面积，利用换元法，结合函数的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（-

3

，0），（

3

，0）为焦点，长半轴长为2的椭圆．
故曲线C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点横坐标为y，则

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1
两方程相减可得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+(y1+y2)(y1-y2)=0
∵直线l过点E（-1，0）且与曲线C交于A，B两点，AB中点横坐标为-

1

2

，
∴

-(x1-x2)

4

+2y(y1-y2)=0
∴

-1

4

+2y•

y

- 1 2 +1

=0
∴y=±

1

4

∴直线AB的斜率为k=±

1

2

∴直线AB的方程为y=±

1

2

（x+1）；
（3）存在△AOB面积的最大值．
因为直线l过点E（-1，0），可设直线l的方程为x=my-1．
代入椭圆方程整理得（m²+4）y²-2my-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得y₁=

m+2 m2+3

m2+4

，y2=

m-2 m2+3

m2+4

．
则|y₂-y₁|=

4 m2+3

m2+4

．
∴S_△AOB=

1

2

|OE||y2-y1|=

2 m2+3

m2+4

设t=

m2+3

（t≥

3

），则g（t）=

2

t+ 1 t

∵y=t+

1

t

在区间[

3

，+∞）上为增函数．
∴t+

1

t

≥

4 3

3

．
∴S△AOB≤

3

2

，当且仅当m=0时取等号，
∴S_△AOB的最大值为

3

2

．

点评：本题考查直线与椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生计算能力，属于中档题．