Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-ax（a∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程；
（2）a=3时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（3）设an=1+

1

n

（n∈N^*），求证：3(a1+a2+…+an)-

a

21

-

a

22

-…-

a

2n

＜ln(n+1)+2n．

Answer 1

（1）f（x）=lnx，f′(x)=

1

x

，f'（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y=1（x-1），即x-y-1=0．…（4分）
（2）F（x）=lnx+x²-3x，F′(x)=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

…（6分）
由F′(x)＞0?0＜x＜

1

2

或x＞1，F'（x）＜0?

1

2

＜x＜1，…（8分）
所以函数F（x）=f（x）+g（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，(1，+∞)；减区间为(

1

2

，1)…（9分）
（3）由（2）知a=3时，F（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）上是增函数．
所以F(1+

1

n

)＞F(1)=-2．
所以ln(1+

1

n

)+(1+

1

n

)2-3(1+

1

n

)＞-2．
所以3(1+

1

n

)-(1+

1

n

)2＜2+ln(1+

1

n

)．
即3an-

a

2n

＜2+ln(1+

1

n

)．       …（12分）
所以3a1-

a

21

＜2+ln(1+1)，3a2-

a

22

＜2+ln(1+

1

2

)，3a3-

a

23

＜2+ln(1+

1

3

)，
…3an-

a

2n

＜2+ln(1+

1

n

)．
所以3(a1+a2+…+an)-

a

21

-

a

22

-…-

a

2n

=(3a1-

a

21

)+(3a2-

a

22

)+…+(3an-

a

2n

)＜(2+ln

2

1

)+(2+ln

3

2

)+…+(2+ln

n+1

n

)＜2n+ln（n+1）．
故所证不等式成立．    …（14分）