Question

动点M的坐标（x，y）在其运动过程中总满足关系式．
（1）点M的轨迹是什么曲线？请写出它的标准方程；
（2）已知定点T（t，0）（0＜t＜3），若|MT|的最小值为1，求t的值；
（3）设直线l不经过原点O，与动点M的轨迹相交于A，B两点，点G为线段AB的中点，直线OG与该轨迹相交于C，D两点，若直线AB，CD，AC，AD，DB，BC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，k₅，k₆，求证：k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，可得（x，y）到，的距离的和为6，大于两定点间的距离，故点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a=3，c=，从而可求椭圆的标准方程；
（2），0≤x≤3，构造函数，配方可得，0≤x≤3，再进行分类讨论，利用|MT|的最小值为1，即可求t的值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，设C（x₃，y₃），则D（-x₃，-y₃）
根据点在椭圆上，利用点差法，即可证得结论．
解答：（1）解：∵．
∴（x，y）到，的距离的和为6，大于两定点间的距离
∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a=3，c=
∴b²=4
∴椭圆的标准方程为：
（2）解：，0≤x≤3
记，0≤x≤3
①当，即时，，
又，∴，解得，而，故舍去
②当，即时，，
又，∴t²-6t+9=1，解得t=2或t=4，而，故舍去
又，故t=2符合题意；综上可知，t=2
（3）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x，y），则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
由
∴，
设C（x₃，y₃），则D（-x₃，-y₃）
由，
∴，
同理，
∴k₁•k₂=k₃•k₄=k₅•k₆
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，考查配方法求函数的最值，考查点差法的运用，解题的关键是正确分类，合理运用点差法．