Question

（本题满分13分）已知函数，其中.

（Ⅰ）若函数在其定义域内单调递减,求实数的取值范围;

（Ⅱ）若,且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）的定义域是，由于函数在其定义域内单调递减，所以在时恒成立，即在恒成立. 解法一：因为，所以二次函数开口向下，对称轴，问题转化为；即可求出a的范围；解法二，分离变量，得在恒成立，即 ，当时，取最小值，即可求出a 的范围； （Ⅱ）由题意，即，

设则列表可知，，又，方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.根据函数图象可知， 即可求出b的范围.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）的定义域是，求导得

依题意在时恒成立，即在恒成立. 3分

这个不等式提供2种解法，供参考

解法一：因为，所以二次函数开口向下，对称轴，问题转化为

所以，所以的取值范围是 6分

解法二，分离变量，得在恒成立，即

当时，取最小值，∴的取值范围是 6分

（Ⅱ）由题意，即，

设则列表：

	?	极大值	?	极小值	?

 

∴，，又 10分

方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.

则， 得 （注意） 13分.

考点：1.导数在研究函数单调性中的应用；2.函数的零点与方程的根.