Question

口袋内装有编号为1、2、3的三个白球和编号为A的一个黑球，所有球的大小、质地和重量都相同，每次摸1个球并记录结果并将球放回口袋中，若第k次摸球恰好得到编号为k的球，就称之为1次巧合．
（1）求3次摸球中至多摸得1次黑球的概率．
（2）设3次摸球并记录结果后，将巧合总次数表示为ξ，求ξ的分布列和期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）3次摸球中至多摸得1次黑球，包括摸得1次或0次黑球，由此可得概率；
（2）确定随机变量的取值，求出相应的概率，即可得到随机变量的分布列及数学期望．

解答：解：（1）记A：3次摸球中至多摸得1次黑球，则P（A）=

C

1 3

•

1

4

•(

3

4

)2+

C

0 3

•(

3

4

)3=

27

32

；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，则
P（ξ=0）=

C

0 3

•(

3

4

)3=

27

64

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

4

•(

3

4

)2=

27

64

；
P（ξ=2）=

C

2 3

•(

1

4

)2•(

3

4

)1=

9

64

；P（ξ=3）=

C

3 3

•(

1

4

)3•(

3

4

)0=

1

64

∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．