Question

（理）已知双曲线

x2

9

-

y2

4

=1及点P（2，1），是否存在过点P的直线l，使直线l被双曲线截得的弦恰好被P点平分？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

设弦为AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x 21 9 - y 21 4 =1   ① x 22 9 - y 22 4 =1   ②

①-②：

x 21  - x 22

9

-

y 21 - y 22

4

=0
若P（2，1）为AB的中点，则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∴

4(x1-x2)

9

-

2(y1-y2)

4

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

8

9

∴过点P的直线l方程为：y-1=

8

9

(x-2)
即8x-9y-7=0
经验证，将y=

8

9

x-

7

9

代入

x2

9

-

y2

4

=1得28x²-112x+373=0
∴△=112²-4×28×373＜0
∴直线不满足题意，故这样的直线不存在．