Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ） （-π＜φ＜0）的一个对称中心为（

π

8

，0）
（1）求φ；
（2）求函数y=f（x）在，[0，π]上的单调增区间；
（3）令g（x）=f（x+

3π

4

），解不等式log₂[2g（x）+1]≥1．

Answer 1

分析：（1）由题意知2×

π

8

+φ=2kπ（k∈Z），进而结合φ的范围可得答案．
（2）由正弦函数的单调区间，可得-

π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，(k∈Z)，再结合x的范围给k取值可得答案．
（3）由题意得到g（x）=-cos（2x-

π

4

），所以可得log₂[-2cos（2x-

π

4

）+1]≥1，即cos（2x-

π

4

）≤-

1

2

，再结合余弦函数的性质求解不等式即可．

解答：解：（1）由题意知2×

π

8

+φ=2kπ（k∈Z），
因为-π＜φ＜0，所以k=0，φ=-

π

4

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，(k∈Z)，可得-

π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，(k∈Z)．
因为x∈[0，π]，所以当k=0，1时，得到函数的单调增区间为[0，

3π

8

]，[

7π

8

，π]．
（3）由题意可得：g（x）=f（x+

3π

4

）=sin[2（x+

3π

4

）-

π

4

]=sin（2x-

π

4

+

3π

2

）=-cos（2x-

π

4

），
所以log₂[2g（x）+1]=log₂[-2cos（2x-

π

4

）+1]≥1，
即可得cos（2x-

π

4

）≤-

1

2

，
所以

2π

3

+2kπ≤2x-

π

4

≤

4π

3

+2kπ，(k∈Z)，
所以

11π

24

+kπ≤x≤

19π

24

+kπ，(k∈Z)
所以不等式的解集为[

11π

24

+kπ，

19π

24

+kπ]，(k∈Z)．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握正弦函数与余弦函数的一个性质，并且结合正确的运算．