题目内容
如图，
、
、…、
是曲线
：
上的
个点，点
（
）在
轴的正半轴上，且
是正三角形（
是坐标原点）．
（1）写出
、
、
；
（2）求出点
（
）的横坐标
关于的表达式并证明.
【答案】
(Ⅰ)
（2）
．
【解析】（1）依题意，得
.解得
；
.解得
；同理
.（2）由猜想．利用数学归纳法证明，
时，
成立；假定当
时命题成立，即有
，寻找
与
的关系，用去证明.根据已知得
，及
，得
，即
．把代入求，保证
.即得证明
(Ⅰ)
（2）依题意，得，由此及得
，即．
由（Ⅰ）可猜想：．
下面用数学归纳法予以证明：（1）当
时，命题显然成立；
（2）假定当时命题成立，即有，则当
时，由归纳假设及
得
，即
，
解之得：
（
不合题意，舍去），
即当时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立
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