Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0，且对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求实数k的最小值；
（Ⅲ）求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜ln(n+1)+2（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）将x=3代入直线方程得y=-

9

2

，
∵点（3，f（3））在函数f（x）=ax³+bx²的图象上，∴27a+9b=-

9

2

①
由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
联立①②，解得a=-

1

3

，b=

1

2

．
∴f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2；
（Ⅱ）由f'（x）=-x²+x，∴对任意的x∈[0，+∞），f'（x）≤kln（x+1）恒成立，
即-x²+x≤kln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+kln（x+1）≥0在x∈[0，+∞）恒成立；
设g（x）=x²-x+kln（x+1），g（0）=0，
∴只需对于任意的x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0）即可．
g′(x)=2x-1+

k

x+1

=

2x2+x+k-1

x+1

，x∈[0，+∞)
设h（x）=2x²+x+k-1，
（1）当△=1-8（k-1）≤0，即k≥

9

8

时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（0）
（2）当△=1-8（k-1）＞0，即k＜

9

8

时，设x1，

x

2

是方程2x²+x+k-1=0的两根且x₁＜x₂
由x1+

x

2

=-

1

2

，可知x₁＜-

1

2

，
要使对任意x∈[0，+∞）有g（x）≥g（0），只需

x

2

≤0，
即k-1≥0，∴k≥1，∴1≤k＜

9

8

综上分析，实数k的最小值为1．
（Ⅲ）证明：因为当k=1时，有f'（x）≤kln（x+1）恒成立，即-x²+x≤ln（x+1），也就是x≤x²+ln（x+1）在x∈[0，+∞）恒成立；
令x=

1

n

，得

1

n

≤

1

n2

+ln(

1

n

+1)=

1

n2

+ln(n+1)-lnn．
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

≤1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+(ln(n+1)-lnn)
=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+ln(n+1)
＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

+ln(n+1)
=2-

1

n

+ln(n+1)＜2+ln(n+1)．
∴原不等式得证．