Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+a

2x+1+b

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（mx²+x-3）+f（x²-mx+3m）＞0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数是奇函数，建立方程关系解a，b．（2）利用定义法证明函数的单调性．
（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为f（mx²+x-3）＞-f（x²-mx+3m）=f（-x²+mx-3m），然后利用单调性解不等式．

解答：解：（1）∵f(x)=

-2x+a

2x+1+b

是R上的奇函数，f（0）=0，
即

a-1

b+2

=0，解得a=1．
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+b

，
又f（-1）=-f（1），
∴

1-2

b+4

=-

1- 1 2

b+1

，∴b=2，经检验符合题意．
∴a=1，b=2．
（2）由（1）可知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵y=2^x在R单调递增，∴2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，且为奇函数，
∴原不等式等价为f（mx²+x-3）＞-f（x²-mx+3m）=f（-x²+mx-3m），
∴（m+1）x²+（1-m）x+3（m-1）＜0
①m=-1时，不等式2x-6＜0，即x＜3，不符合题意．
②m≠-1时，要使不等式恒成立，则

m+1＜0 △＜0

，解得m＜-

13

11

．
综上，m＜-

13

11

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．