Question

对于R上可导的任意函数f（x），若满足x•f′（x）≥0，则必有（　　）

A．f（-1）+f（1）＜2f（0）

B．f（-1）+f（1）＞2f（0）

C．f（-1）+f（1）≤2f（0）

D．f（-1）+f（1）≥2f（0）

Answer 1

分析：分x≥0和x＜0两种情况对xf′（x）≥0进行讨论，由极值的定义可得当x=0时f（x）取得最小值，故问题得证．

解答：解：依题意，当x≥0时，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当x＜0时，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，0）上是减函数，
故当x=0时f（x）取得最小值，即有
f（-1）≥f（0），f（1）≥f（0），
∴f（-1）+f（1）≥2f（0）．
故选D．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想思想．属于基础题．