Question

如图所示, 在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中, E、F、G、H分别是BC、C₁C、C₁D₁、A₁A的中点

求证(1)BF∥HD₁；                                    

    (2)EG∥平面BB₁D₁D；

    (3)平面BDF∥平面B₁D₁H.                           

 

  

Answer 1

证明: (1)如图所示, 取BB₁的中点M, 连接HM、MC₁, 易证四边形HMC₁D₁是平行四边形, ∴HD₁∥MC₁.

又∵MC₁∥BF, ∴BF∥HD₁.

(2)取BD的中点O, 连接EO、D₁O, 则OEDC.又D₁GDC, ∴OED₁G,

∴四边形OEGD₁是平行四边形, ∴GE∥D₁O.

又D₁O平面BB₁D₁D, ∴EG∥平面BB₁D₁D.

(3)由(1)知D₁H∥BF, 又BD∥B₁D₁, B₁D₁、HD₁平面HB₁D₁, BF、BD平面BDF, 且B₁D₁∩HD₁＝D₁, DB∩BF＝B, ∴平面BDF∥平面B₁D₁H.