Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

S2n

Sn

≥

3

4

，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）令n等于1代入a_n=5S_n+1中，即可求出首项a₁，然后把n换为n+1，利用a_n=5S_n+1表示出a_n+1，两个式子相减并利用S_n+1-S_n=a_n化简后即可得到

an+1

an

的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可；
（2）由a_n=5S_n+1解出S_n，把第一问求出的{a_n}的通项公式代入即可得到S_n的通项公式，并表示出S_2n，把表示出的式子代入到所证不等式的左边，讨论n为偶数和奇数得到比值的最小值为

3

4

，得证．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=5S₁+1，∴a₁=-

1

4

，
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即

an+1

an

=-

1

4

且a_n≠0，n∈N^*，
∴数列{a_n}是首项为a₁=-

1

4

，公比为q=-

1

4

的等比数列，
∴a_n=（-

1

4

）ⁿ；
（2）Sn=

an-1

5

=

(- 1 4 )n-1

5

，
∵|(-

1

4

)n|=(

1

4

)n＜1，∴(-

1

4

)n-1＜0，∴S_n≠0，
又

S2n

Sn

=

(- 1 4 )2n-1

(- 1 4 )n-1

=(-

1

4

)n+1，
当n=2m，m∈N^*（偶数）时，比值=1+(-

1

4

)2m=1+(

1

16

)m＞1＞

3

4

，
当n=2m-1，m∈N^*（奇数）时，比值=1+(-

1

4

)2m-1=1-(

1

4

)2m-1，
关于m为递增数列，当m=1时，取到最小值1-

1

4

=

3

4

，
综上所述，对任何正整数n，不等式

S2n

Sn

≥

3

4

，n∈N*恒成立．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求出，会确定一个数列为等比数列，是一道综合题．