Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

3

2

，且2a_na_n-1=3a_n-1-a_n（n≥2，n∈N^*），若不等式a_n≤

9

8

恒成立，则n的最小值为（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：把给出的递推式变形得到数列{1-

1

an

}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，求出数列{a_n}的通项公式后把不等式a_n≤

9

8

恒成立转化为

1

an

=1-

1

3n

≥

8

9

，求解不等式得到n的最小值．

解答：解：∵2a_na_n-1=3a_n-1-a_n，∴3(1-

1

an

)=1-

1

an-1

，
又1-

1

a1

=1-

2

3

=

1

3

，∴数列{1-

1

an

}是以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
∴1-

1

an

=

1

3n

，∴

1

an

=1-

1

3n

(n∈N*)．
要使不等式a_n≤

9

8

恒成立，须使

1

an

=1-

1

3n

≥

8

9

，即n≥2．
所以n的最小值为2．
故选C．

点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的函数特性，考查了数学转化思想方法，解答的关键是由递推式构造出等比数列，是中档题．