Question

已知点P是圆x²+y²=16上的一个动点，点A（12，0）是x轴上的一定点，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？并判定此轨迹与圆x²+y²=16的位置关系．

Answer 1

分析：设出点M的坐标和点P的坐标，由中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，把P的坐标代入圆的方程即可得到M的轨迹；然后利用两圆的圆心距和半径的关系进行分析即可．

解答：解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），
由于点A（12，0），且M是线段PA的中点，所以，

x= x0+12 2 y= y0+0 2

，得

x0=2x-12 y0=2y

．
因为点P是圆x²+y²=16上的一个动点，所以P的坐标满足方程x02+y02=16．
代入整理得：（x-6）²+y²=4．
所以点M的轨迹为以（6，0）为圆心，2为半径的圆，
因为两圆的圆心距为

(6-0)2+(0-0)2

=6，两圆的半径之和为2+4=6，
所以两圆外切．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了圆与圆之间的关系，考查了利用代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．