题目内容

甲、乙两同学进行投篮比赛，每一简每人各投两次球，规定进球数多者该局获胜，进球数相同则为平局．已知甲每次投进的概率为 $数学公式$ 乙每次投进的概率为1/2，甲、乙之间的投篮相互独立．
（1）求甲、乙两同学进行一扃比赛的结果不是平局的概率；
（2）设3局比赛中，甲每局进两球获胜的局数为ξ．求ξ的分布列及数学期望．

解：（1）设“一局比赛出现平局”为事件A，
则P（A）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +C₂¹• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •C₂¹• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以P（ $\text{[math]}$ ）=1-P（A）= $\text{[math]}$ ，即一局比赛的结果不是平局的概率为 $\text{[math]}$ ．
（2）设“在一局比赛中甲进两球获胜”为事件B．
因为ξ可取0，1，2，3，
所以P（ξ=0）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=1）=C₃¹• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=2）=C₃²• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=3）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

Eξ=0× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ =1．
分析：（1）设“一局比赛出现平局”为事件A，则P（A）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +C₂¹• $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •C₂¹• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再由对立事件的概率能求出一局比赛的结果不是平局的概率．
（2）设“在一局比赛中甲进两球获胜”为事件B．因为ξ可取0，1，2，3，所以P（ξ=0）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=1）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=2）= $\text{[math]}$ ，P（ξ=3）= $\text{[math]}$ ．由此能求出ξ的分布列和期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解（1）题时要注意对立事件的概率的运用，解（2）题时要注意n次独立试验恰好发生k次的概率公式的灵活运用．