Question

已知函数f（x）=

-4x2+4x    (0≤x＜1) log2013x      (x＞1)

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（　　）

A、（2，2014）

B、（2，2015）

C、（3，2014）

D、（3，2015）

Answer 1

分析：当0≤x＜1时，f（x）=-4(x-

1

2

)2+1，可得f（x）∈[0，1]．当x＞1时，f（x）=log₂₀₁₃x＞0．在同一坐标系内画出函数的图象．利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出．

解答：解：当0≤x＜1时，f（x）=-4(x-

1

2

)2+1，可得f（x）∈[0，1]．
当x＞1时，f（x）=log₂₀₁₃x＞0．
在同一坐标系内画出函数的图象：
不妨假设a＜b＜c，
由二次函数的对称性可得：

1

2

=

a+b

2

，∴a+b=1．
由0＜log₂₀₁₃c＜1，解得1＜c＜2013，
∴2＜a+b+c＜2014．
∴a+b+c的取值范围是（2，2014）．
故选A．

点评：本题考查了二次函数的单调性和对数函数的单调性、数形结合的思想方法，属于难题．