题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝
，连接CE并延长交AD于F.
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
（1）见解析（2）
【解析】(1)在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝
，∠ABE＝∠AEB＝
，
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝
，
所以∠FED＝∠FEA.故EF⊥AD，AF＝FD，又因为PG＝GD，
所以FG∥PA，又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.
(2)以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C
，D(0，
，0)，P
，故
＝
，
＝
，
＝
.
设平面BCP的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则
令y1＝－
，则x1＝3，z1＝2，n1＝(3，－
，2)．
设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，则
解得
即n2＝(1，
，2)．
从而平面BCP与平面DCP的夹角θ的余弦值为
cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
＝
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