Question

如图所示是函数f（x）=x³+bx²+3cx+d的大致图象，方程x3+

2

3

bx2+

c

6

x-m=0在x∈[-2，2]内有解，则m的取值范围是（　　）

• A．[-

  5

  27

  ，2]
• B．[-10，2]
• C．[-10，-1]
• D．[-1，

  5

  27

  ]

Answer 1

分析：先利用函数f（x）的图象，知函数过原点，且有两个极值点，即f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0，代入解析式即可解得b、c、d的值，再将方程x3+

2

3

bx2+

c

6

x-m=0在x∈[-2，2]内有解问题转化为求函数g（x）=x³-x²-x，的值域问题，利用导数求其在闭区间[-2，2]内的最值即可

解答：解：由函数f（x）的图象可知：f（0）=0，f′（-2）=0，f′（3）=0
∵f（x）=x³+bx²+3cx+d，f′（x）=3x²+2bx+3c
∴

d=0 12-4b+3c=0 27+6b+3c=0

解得：b=-

3

2

，c=-6，d=0
∴方程x3+

2

3

bx2+

c

6

x-m=0在x∈[-2，2]内有解，即方程x³-x²-x-m=0在x∈[-2，2]内有解，
即m=x³-x²-x在x∈[-2，2]内有解，
设g（x）=x³-x²-x，则g′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1）
∴当x∈[-2，-

1

3

]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当x∈[-

1

3

，1]时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
而g（-2）=-10，g（-

1

3

）=

5

27

，g（1）=-1，g（2）=2
∴g（x）∈[-10，2]
即m∈[-10，2]
故选 B

点评：本题主要考查了导数与函数极值点之间的关系，利用导数求函数在闭区间上的最值的方法，将方程有解问题转化为函数值域问题中转化化归的思想方法